¿Alguien me puede decir una aplicación concreta de los números complejos? Cuando digo concreta no es "la ecuación de una onda la puedes poner como un número complejo en lugar de usar trigonometría". Me refiero a que si hay algo concreto, tangible, específico, que no existiría si a Gauss no le hubiera dado por popularizar i.
|2009-10-15 | 18:20 | algo de mates | Este post | | Tweet
Que yo sepa: en casi cualquier integral un poco complicada (que salen en cualquier lado) te hace falta integración compleja; es casi imposible tratar las ondas (y lo que de ellas depende, que es mucho) son complejos; salen naturalmente en mecánica de fluidos, en la resolución de muchas EDP's , en el espacio de fasores que aparece en cualquier cálculo eléctrico...
Espero que no te corriesen prisa las respuestas, porque llego como 20 días tarde, buf.
No se me ocurre ningún ejemplo de nada más que la física cuántica que cumpla esa dependencia estricta, pero sí de muchas cosas en las que ayuda; por ejemplo viendo lo que pasa en el plano complejo cuando multiplicas por i puedes utilizarlo para hacer la vida más sencilla cuando hay algo con rotaciones de por medio. El ejemplo que más me ha gustado de esto en el poco rato que he dedicado a buscar ha sido este,
Ya, pero sigo pensando que me resutla curioso que no podamos escapar de "lo que hace que las cosas sean más sencillas". No acaba de convencerme que las ecuaciones de ondas no puedan resolverse sin esos complejos (sí de forma mucho más sencilla con ellos, pero de ahí a no poder usar el microondas si no fuera por i va un paso...).
Hola Rafa. Acabo de leer el resumen que indicas, pero vuelvo a ver el mismo problema: que la superficie que aparece sea compleja no es discutible, pero se podría analizar también de un modo real (vaya, que a+ib es (a,b)). Se complican los cálculos haciéndolo con reales, pero supongo que se podría hacer de igual modo. No soy precisamente una experta en física con complejos, pero me gustaría que me confirmaras o no lo que digo...
Hola Lola. Eres rápida leyendo resúmenes. El problema es que tanto "real" como "complejo" van unidas. Dicho de otra manera: la palabra "complejo" también es real pero indica superfície, extensión, como una onda, por ejemplo, cosa que aún no hemos asimilado. Si lees todos los apartados puede que entonces concretes más la pregunta. Un saludo.
Bueno, Rafa, sólo leí la primera página, sí :P Pero creo que era lo que había que leer, ¿no? Ya, ya sé que equivalen, a eso voy precisamente. Lo que intento buscar es algún ejemplo en el que el hecho de analizar algo con complejos sea completamente relevante y no pueda ser analizado con dos (o tres) coordenadas cartesianas. Es decir, ¿dónde es completamente crucial el trabajo con i en lugar de tratarlo como pares de coordenadas?
Todo esto viene a raíz de explicar complejos en 1º de bachillerato. En realidad, se les dice que el sonido se analiza con complejos y ellos se lo creen sin más, pero cualquier onda se puede analizar también como dos coordenadas en lugar de sen + i·cos, aunque sea más engorroso.
Hola Lola, veo que eres profe. Entonces no sé si esto te servirá porque esta forma de trabajar con los números complejos es nueva y no está en ningún sítio exepto en esta web. El tratamiento matemático con los reales y con los complejos es el mismo, lo único que cambia es la interpretación. La i de complejo, matemáticamente es la solución de la raíz cuadrada de -1, pero geométricamente no es eso. Indicas si estás en una cara o en la otra de una superfície y las dos son opuestas. ¿Qué pasa si mutiplicas escalarmente i.i donde las i son opuestas? 0btienes -1. Por eso en el producto de dos complejos multiplicas z por su conjudado y no z por z como sería con los reales. Si lo interpretas como se indica en esta web entenderás más de lo que pensabas. Hasta otra.
Rafa, sí, si eso lo tengo claro (hice matemáticas, todavía recuerdo el análisis complejo) pero sigo sin ver qué tiene de especial que se trabaje con complejos en lugar de con dos coordenadas (aparte de que, obviamente, hace mucho más sencillos los cálculos). Pero bueno, igual es cosa de verlo con más tranquilidad. Gracias por la información.
Hola Lola. Es fácil de verlo: si un numero complejo lo tratas como (a,b) tanto a como b son dos números reales. Si lo escribes a+ib entonces a es un número y b es un área. Son muy diferentes. Te diré otra cosa: tratar un numero complejo en el plano cartesiano como se hace en los libros de texto es incorrecto. Hasta otra.
Bueno, no creo que sea incorrecto, lo que pasa es que no es sólo la única forma de tratarlo. Aún así, sigo pensando que los cálculos que propones parece que también pueden hacerse de modo cartesiano (aunque de forma más engorrosa), pero ya te digo que ni mucho menos soy una experta en eso...
Rafa, el artículo parece interesante... pero no veo lo de los complejos... No lo he leído en profundidad, pero parece que es un cálculo con sucesiones, ¿no?
Lola, todo eso sale de los numeros complejos aunque no lo parezca. Aquí solo se explica los resultados, lo que a la gente le gusta, no las demostraciones...
¿Te refieres a que la ley de Bode necesita a los complejos para demostrarse? No creo (sobre todo porque es previa a la aparición de los complejos). En el resto de demostraciones que hay tampoco veo ninguna referencia a los complejos. De hecho, creo que cualquier cálculo de posiciones astronómicas se puede hacer sin problema con coordenadas cartesianas (aunque, de nuevo, sea mucho más cómodo con complejos, pero no creo que sea muy distinto a hacerlo en coordenadas polares).
No sé, no llego a ver nada que no existiera si Euler y Gauss no hubiesen formalizado en su momento a i. Eso sí, la vida es más fácil haciéndola compleja :P
No es la ley de Bode. Esta es nueva y entierra a la de Bode, que por cierto, no era suya. La ley de Bode es empírica. Esta sale a partir de los números complejos, de una ley física que sin los números complejos no se podría deducir. No, Lola, hay cosas que si no tienes las herramientas adecuadas no las puedes construir. Euler dió a la herramienta una forma muy útil que ha hecho que su utilización sea muy fácil. En fin, que es más complejo de lo que te pensabas...
Es lo que busco, que sea precisamente más "complejo". Y que una ley física no exista sin los números complejos me resulta ciertamente complejo, sí. Aún así, sigue sin ser algo tangible... :S
Yo lo que quería era decirle a los chicos cuando me toque dar números complejos: "chavales, no os echéis las manos a la cabeza, vale que raíz de -1 no exista, pero gracias a que alguien supuso que sí "existe" (a su manera), ahora tenemos X". Me falta la X.
Lola, me parece que lo que buscas no lo encontrarás y nadie te puede ayudar. Quien tiene que entenderlo eres tú. Yo lo único que te puedo decir a ti (supongo que ya lo sabes y por tanto te pido disculpas) es que un número complejo se escribe a + ib, que no son vectores aunque se representen en un sistema cartesiano como si lo fueran, que a es un número real, b también pero que representa un área (importante) y el signo de la i te indica en qué sentido giras. Todo se resuelve con productos escalares y productos vectoriales y claro, eso no se lo puedes explicar a un niño de la ESO. La raíz cuadrada de -1 no existe aunque lo diga el mismísimo Euler.
Pues sí, Rafa, lo que me dices ya lo sabía, pero vuelvo a decirte que no es eso lo que pretendo. Lo que pretendía era encontrar algo que exista gracias a que se han estudiado los complejos y que no existiría si no fuera por i. Es decir, las radiografías no existirían si no se hubiera descubierto la radiación. En fin, supongo que te parecerá una tontería buscar esto, sólo pretendía dar una motivación previa a dar números complejos a diestro y siniestro.
¿Alguien me puede decir una aplicación concreta de los números complejos? Cuando digo concreta no es "la ecuación de una onda la puedes poner como un número complejo en lugar de usar trigonometría". Me refiero a que si hay algo concreto, tangible, específico, que no existiría si a Gauss no le hubiera dado por popularizar i.
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