Un fractal es ese gran desconocido del que todos han oído hablar pero que nunca queda muy claro qué es. Sí, es eso que se repite. Sí, es eso que lo divides y sale lo mismo. Sí, es eso de los dibujos raros. Sí, es la pera esa con sombrero y brazos...
Pues no esperéis que os lo explique muy bien, porque tampoco es que lo tenga muy claro, pero lo intentaré. No hay una definición unánime, ya que todas las definiciones mínimamente rigurosas que se han dado dejan fuera objetos que sí tienen estructura fractal. En fin, que no se ponen de acuerdo.
Podemos decir que un fractal es un objeto que tiene alguna de las siguientes características: Posee detalles a todas las escalas (si lo ampliamos, no se simplifica), no se puede describir ni local ni globalmente con la geometría convencional, posee alguna clase de autosemejanza (vemos figuras que se van repitiendo conforme lo ampliamos), se le puede asociar un concepto de "dimensión" que difiere de la habitual y normalmente es un número fraccionario... Vale... ¿Y qué es un fractal?... Glups.
Veamos un fractal muy fácil de construir, llamado la curva de Koch:
Vemos claramente la autosemejanza. Sorprende porque es una curva de longitud infinita que abarca claramente un área finita. Se asemeja a los copos de nieve, ¿no?
¿Qué es la dimensión fractal de un objeto fractal? La dimensión habitual de un objeto mide en cierta forma el mínimo sitio donde lo podemos meter. Por ejemplo, un punto tiene dimensión 0, una recta o línea cualquiera tiene dimensión 1 (longitud), un plano tiene dimensión dos (longitud y anchura)... En general, la dimensión se mide de forma local y en este sentido, una esfera hueca por dentro también tiene dimensión dos, ya que si nos acercamos mucho a la esfera, es como si fuera un plano, mientras que una esfera maciza tendrá dimensión tres (longitud, anchura y altura). No entraré en detalle en la definición de esta dimensión (llamada dimensión topológica), pero es un concepto fácil de entender y de ver cómo se van aumentando dimensiones de una en una, siendo ésta siempre un número natural.
Sin embargo, un fractal se caracteriza la mayoría de las veces por estar de camino entre tener una dimensión u otra. Aquí es donde se define la dimensión fractal, que suele ser un número racional. Tal definición no es sencilla de definir pero basta decir que si, por ejemplo, es de dimensión entre 1 y 2, mide cuánto se aleja el objeto de ser como una línea y cuánto de rellenar un trozo del plano. Precisamente la dimensión de la curva de Koch es log4/log3.
Veamos un par de ejemplo más de fractales:
Este es el triángulo de Sierpinsky. Se construye de forma sorprendente de la siguiente forma: Dibujamos un triángulo grande en un folio y numeramos los vértices: uno será el 1 y 2, otro el 3 y 4 y el tercero el 5 y 6. Nos situamos el primer vértice y tiramos un dado. Si sale 1 o 2 no hacemos nada, si sale 3 o 4 dibujamos un punto en el punto medio que une el vértice 1-2 con el 3-4. Si sale un 5 o 6, dibujamos tal punto medio del segmento 1-2 y el 5-6. Ahora tomamos ese punto que acabamos de dibujar y hacemos lo mismo: se tira un dado y se dibuja el punto medio del segmento del punto en el que estamos con el vértice que salga en el dado (a partir de ahora ya sí cuenta también el 1-2 al igual que el resto). Si realizamos este procedimiento indefinidamente, obtenemos el dibujo que vimos antes. También tiene su versión 3-D (y, con todos esos huecos, no es de dimensión fractal 3, claro está, jeje).
Aquí tenemos otro ejemplo, la curva de Hilbert, que rellena todo el cuadrado:
O bien el dragón:
En la naturaleza encontramos múltiples ejemplos de fractales. Por ejemplo, aquí.
Vale, muy bonito y tal... ¿pero esto para qué sirve? (la gran pregunta odiada). Pues, por ejemplo, se usan en la simulación de paisajes naturales o en el tratamiento y compresión de imágenes digitales. Zip zip zip...
Para acabar, os dejo con el fractal más famoso y puede que uno de los objetos más estudiados de las matemáticas: El conjunto de Mandelbrot.
¿Veis el cuadradito rojo de la primera figura?
Si se amplía sale la segunda y si se vuelve a ampliar el cuadradito de la segunda sale la tercera. El tercer objeto se llama conjunto de Julia y está intimamente relacionado con el de Mandelbrot.
La construcción de este fractral es sencilla pero requiere algo de nivel matemático: En el campo de los complejos, fijado un c en C, tomamos la sucesión recursiva z_0=0 y z_{n+1}=(z_n)^2 + c y estudiamos para qué c esta sucesión está acotada. Los puntos en los que lo está se pintan de negro. El resto de puntos de color corresponden a complejos "cs" tales que la sucesión recursiva no está acotada y diverge. El color depende de la velocidad con la que diverge. Este conjunto es absolutamente sorprendente. Como muestra, aquí os dejo este vídeo.
Y no os perdáis este otro vídeo si necesitáis que alguien os eche una mano con los fractales...
Para los más curiosos, algunos sitios de donde he cogido imágenes o datos: Aquí, aquí o aquí. Sitios con más dibujitos: aquí o aquí.
|2006-05-23 | 11:41 | algo de mates | Este post | | Tweet
pues no soy física, así que habrá que preguntarle a Estefanía, o a algún físico que haya suelto. De todas formas, ¿qué no tiene que ver con la física cuántica? :P
Tengo que discrepar sobre el conjunto de Julia. El "tercer dibujito" o bien es un trozo del Mandelbrot, o bien un cnjunto de Julia. La diferencia entre las dos cosas es mucha.
El conjunto de Mandelbrot "vive" dentro del espacio de parámetros, es el conjunto de todos los complejos c tales que la función
z2-c
cumple una condición, que no viene al cuento.
En cambio, los conjuntos de Julia viven en el espacio de fases, la constante c está fijada de antemano, i los puntos del Julia correspondiente a nuestra c son los complejos z tales que
f(z)=z2-c
no se escapa hacia el infinito, por el contrario, se queda dentro del conjunto. Todos los demás puntos z se escapan hacia el infinito.
Así que el tercer dibujito, que sí parece un conjunto de Julia, NO ES una ampliación del anterior.
Sí, saverio, el conjunto de Madelbrot se puede ver como los cs variables que hagan que la sucesión converja o, fijado el c, los complejos que hacen que los conjuntos de julia asociados sean conexos (¿es así? es que yo soy de topología, es mi primera incrusión en este mundo). De todas formas, esta transformación del conjunto de mandelbrot en el de julia la encontré aquí
http://www.fractovia.org/art/es/what_es4.shtml
pero claro... nunca hay que fiarse mucho de internet :P
Queria darte la enhorabuena por dos motivos, primero por el blog en si mismo, el cual sigo gracias auna amiga comun, y el segundo motivo es que te citan en microsiervos, que es uno de los Blogs mas interesantes y seguidos del pais.
http://www.microsiervos.com/archivo/ciencia/mundillo-fractal.html
ah, y ya sé de dónde vienes... es curioso, porque ayer mismo visité tu blog desde el de palo y vi lo de las generaciones y generaciones de crecimiento exponencial de enlaces de blogs :P Bueno, y la foto de Marisol no tiene desperdicio! (no me digas que no es clavá!)
uy, sí, yo compro romanescu cuando tenemos invitada a la estudiante de Rochefort, que es vegetariana, pero para nuestra vergüenza esta linda verdura que se cría en españa se vende en el uk pero no en el mercado de al lado de mi casa en spain. Cosas de la globalización. El romanescu es aún más impresionante en persona, es decir en 3d. Otro fractal que nos explican en el cole en Catalunya es la Costa Brava, aunque supongo que la costa Da Morte es áun mejor ejemplo.
Ya, milady, pero nunca me convenció empezar a explicar los fractales con lo de las costas y siempre intento evitarlo. No sé, no se ve bien ni autosemejanza ni nada, y acaban preguntándote "claro, y los átomos de los granos de arena?". Creo que es el equivalente a la curva de Koch pero con la curva creo que se ve mejor.
Y sí, el romanescu (le falta una i para ser completo) es impresionante, creo que es el ejemplo más claro en la naturaleza, mucho más que el helecho.
y por lo de los pulmones, cierto también. Iba a poner más fotos de todos estos, pero no quería que el post ocupase todo el blog :P Por eso pongo los enlaces. La verdad es que los fractales van a acabar siendo como la teoría de categorías.. que te los encuentras por las esquinas.
Los fractales son apasionantes, hay quien no se lo creerá, pero los fractales explican muchas cosas, por ejemplo: aplicado a la psicología mi amigo Guillermo dice... "Cada uno de nuestros actos y conductas es pues fractal de nuestra propia estructura y cada uno de los acontecimientos, accidentes, aventuras, de nuestra vida es a su vez fractal de toda nuestra existencia."
Suena fuerte, pues más fuerte le puede sonar a alguno si le digo que nos podemos encontrar un fractal en un gráfico de 5 minutos del euro/dolar y además se puede ganar dinero en base a ese comportamiento. Quien no lo crea se lo muestro.
en ese caso, el de las costas es una categoría laxa. Y sí, aún está por ver que se acabe en el modelo estándar la ramificación de las estructuras, en eso tenía razón el colega que preguntaba por la relación con la física cuántica.
la verdad es que tu sistema de preparar oposiciones es casi tan bueno como el mío.
¿Tienes un tema de fractales en la oposición? :-P
Muy bonita la introducción, aunque hay un punto en el que discrepo: La definición de fractal no tiene nada que ver con la autosemejanza o la invarianza por escala (aunque los objetos que tienen estas propiedades suelen ser fractales), y sí es perfectamente rigurosa. Concretamente, un subconjunto F contenido en R^n es un fractal cuando su dimensión de Hausdorff no es un número entero. La dimensión de Hausdorff se obtiene como un determinado límite en las áreas de los recubrimientos del objeto mediante bolas, pero para hablar de eso hay que meterse mucho en teoría de la medida.
Contrariamente a lo que la mayoría de la gente cree, el conjunto de Mandelbrot (los c complejos tales que la sucesión que mencionas converge) NO es un fractal propiamente dicho. Lo que es un fractal es su conjunto frontera.
Y sí que es verdad que las curiosidades de estos objetos no tienen límite... este último mes en un seminario nos han contado como las simetrías fractales de determinadas curvas (en concreto la escalera del diablo, la curva obtenida como el grafo de la función ? de Minkowski) nos dan lugar a un sistema dinámico cuyas órbitas forman un espacio topológico degenerado, que no puede estudiarse con topología clásica, pero que revela una estructura muy rica si en vez de usar estas herramientas renuncia uno a la conmutatividad y se parametrizan estas órbitas mediante un álgebra no conmutativa. Un ejemplo maravilloso e increíble en el que se juntan los fractales, la teoría de números (mi pasión frustrada) y la geometría no conmutativa (mi tema de tesis :-P).
Hala, ya me he pegao la parrafada ilegible de la semana XD
Mewt,
las fractals son hermosas.
las fractals son constantes en el universo (perdón el ripio)
Algunos somos tan locos que hemos leído ¡hasta libros! sobre fractals ya que los vemos desde en las flores de las plantas que cultivamos hasta en la sopa que estoy cociendo para la cena (¡di que no!)por lo cual sabemos que el Mandelbrot no es fractal propiamente dicho.
El estudio de los fractals origina demencia temprana y confusión. Scrat no es una ardilla. Dámela o te denuncio por usurpación de personalidad.
(gracias Lola: no sabes lo que he disfrutado escribiendo esto)
XDDDDDDDD
Mewt, sí, a veces he visto eso como definición pero en otros sitios pone que esa definición es incorrecta... glups. Por ejemplo, la pirámide de Sierpinsky tiene dimesión 2 si no me equivoco, no? (bueno, y el conjunto de mandelbrot, es dimensión límite)... bueno, quizá se debe a la sutil diferencia entre dimensión fractal y de Hausdorff (obviamente, no me quise meter ahí, no creo ni que la ponga en el tema... ah, y sí, hay un tema de opos... el 55!).
Nfer, ¿¡has escrito todo eso sólo para que te entregue a mi compañero de viajes!?
Yo estaré demente y confuso por estudiar cosas raras, pero si quieres quitarme a mi Scrat ¡tendrás que venir a buscarlo!
Y lo defenderé con uñas y dientes (de sable) :-P
¿No te da pena, con lo contento que está delante de mi taza de café?
Lola, tienes razón, es que la definición no es esa. Un conjunto es fractal cuando su dimensión de Hausdorff es estrictamente mayor a su dimensión topológica (que sí es siempre un entero). Cuando esto ocurre, la dimensión de Hausdorff suele ser irracional, aunque en algunos casos (Mandelbrot-Sierpinski) vuelve a salir un entero. La verdad es que no sé cuál es la definición de "dimensión fractal", ni en qué se diferencia de la de Hausdorff...
Algie, la verdad es que no tengo la menor idea. Sé que algunos (Antonio Bru) han usado estructuras fractales para predecir patrones de crecimiento de determinadas estructuras (en este caso tumores sólidos), así que me imagino que se pueden aplicar para modelizar el flujo de información a través de las neuronas, pero no sé cuáles pueden ser las aplicaciones prácticas de esto :-/
Para Algernon:
una aplicación que conozco es el estudio de la dimensión fractal del electroencefalograma. Por lo visto, hay una correlación importante entre esta dimensión y la presencia de ciertas enfermedades mentales, así que puede llegar a ser una forma de diagnóstico.
Mewt, sí, esa definición también la conocía, pero también he leído que no era correcta... De todas formas, contraejemplo a eso no conozco.
La diferencia entre dimensión Hausdorff y dimensión fractal (en muchos sitios se confunde, en otros se intercambia, en fin, ya no sabe una de qué fiarse... :P) es pequeña pero vienen a ser casi lo mismo. La de Hausdorff va asociada a os discos que decías (teoría de la medida). Encontré las dimensiones de algunos fractales y la diferencia es de una décima o así... En fin, sólo es para facilitar el cálculo si tienes que comprar...
Lara, me alegro! :P
Al, Santi pone en un comentario alguna aplicación psicológica :)
soy nuevo en esto de los blogs (pardillo de mi)
pero reconozco que con este blog, he tenido "el enganchon definitivo" con este mundillo. Felicidades por el blog, y los fractales, me habeis dado algo en lo que currar
Hacía mucho que no escribía, así que de paso saludo y mando unos besines.
Sólo quería poner un comentario. Respecto a lo que alguien ha puesto, concretamente mewt, de que un objeto es un fractal si tiene dimensión de Hausdorff no entera fue la definición que dio originalmente Mandelbrot. El problema consistía en ¿cómo calcular la dimensión de Hausdorff? La formulita es horrible pero cuando el objeto es autosimilar (condición que se empezó a añadir a los fractales, y que cumplen todos los dibujitos puestos por Lola) la dimensión de Hausdorff coincide con la "box-counting" o dimensión de Minkovsky que se calcula tal y como ha escrito mewt como el límite de áreas de recubrimientos del objeto por bolas, pero en general esto no es cierto.
Con la definición original, la escalera del diablo (función definida en [0,1] continua pero no diferenciable en una cantidad infinita de puntos sería un fractal (la demostración son un par de líneas) y NO es autosimilar.
Huy... equivoqueme. La definición de Mandelbrot fue "dimensión topológica menor que dimension de Hausdorff" y con esto es cierto lo de la escalera del diablo. El fallo es por deformación profesional
Sara: tu eres la Sara que vino a Granada para el SECA-II? La amiga de Brigitte? Si es asi, normal que te pase lo que te ha pasado, es que los topolocos sois asi :-P
Si no, ignora el comentario anterior, no me gusta meterme con desconocidos ;-)
Por cierto, estamos hablando de la misma escalera del diablo? La de Minkowski? Porque la que digo yo (el grafo de la funcion ? )verifica que
?(x/(x+1))=?(x)/2
por lo que te encuentras infinitas copias identicas a la curva dentro de si misma...
O tu te refieres a autosemejanza fuerte, en el sentido de que en _cualquier_ intervalo encuentras una copia?
Mewt, creo que Sara es una compañera mía del departamento de Barcelona. Es de matemática aplicada, y, a pesar de que en sus trabajos utiliza topología, no, no es topóloga. Trabaja en atractores caóticos extraños... al fin y al cabo, fractales :D
Algie, tu es que conoces a gente muy rara :oP
Sara, pues nada, retiro lo dicho entonces, un placer conocerte aunque sea virtualmente. Haces bien en mantenerte alejada de la topologia y los topologos, son mala gente... :-D
El post me ha encantado...y los enlaces muy chulos!
Algernon, estoy de acuerdo con la definición de "atractores caóticos extraños"...Sara, algo que añadir? ;P
mewt, lo mismo digo. Mantenerme alejada de los topólogos es un poco dificil, parte de mis amigos más cercanos lo son y éste departamento está lleno.
Noèlia lo único que puedo añadir es que conozco a pesar de trabajar con "no caóticos" hay más gente se pueda llamar "atractor extraño caótico" que no caótico ;-b
¿Os acordáis del triángulo de Tartaglia (o de Pascal)?
Aparece al ordenar los números combinatorios. Se cumple que cada número es la suma de los dos que tiene arriba:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
Pues bien, va apareciendo de nuevo el fractal del tríángulo de Sierpinsky si pintamos de negro los números pares y de blanco los impares (en realidad, se puede hacer eligiendo cualquier número primo p y pintando de negro los que son múltiplos de p, y de blanco los que no). El efecto se ve mejor cuantas más filas hay en el triángulo:
1
1 1
1 · 1
1 1 1 1
1 · · · 1
1 1 · · 1 1
1 · 1 · 1 · 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 · · · · · · · 1
1 1 · · · · · · 1 1
1 · 1 · · · · · 1 · 1
1 1 1 1 · · · · 1 1 1 1
1 · · · 1 · · · 1 · · · 1
1 1 · · 1 1 · · 1 1 · · 1 1
1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Con tantos comentarios ya no tengo mucho que añadir, salvo que de momento las teorías predominantes en el mundo de la cuántica no tienen mucho que ver con los fractales sino más bien con los espacios de Hilbert... Hay alguna teoría cosmológica no mainstream que teoriza sobre la posible fractalidad de la estructura a gran escala del universo... y así de bote pronto no recuerdo muchas más aplicaciones a la física... por el momento.
Lola, ayer hice una cheesecake y la subí a Flickr...¡y me dijeron que veían una lagartija! lo que derivó en comentarios sobre fractales, y yo los envié para este post
A ver si tenés MAS visitas todavía, que el post amerita...
Besos!
Dos cosas (tres) Lolita:
- de esta tarta salió un comentario en Flickr que hizo que varios te visitaran (o eso dicen) y me enorgullezco por eso.
- Mate hay en todo el mundo (= yerba mate) y la bombilla y el porongo lo llevo yo, así que como los ingredientes de esta tarta les hay seguro donde te pille, en un periquete hacemos una
- Last but not least: mewt, ya habrás visto en mi blog (¿viste mi blog, mewt,si ?) que además de los quitapenas estoy detrás de Scrat.
Lo siento, será una lucha a muerte...estás avisado.
;)
enhorabuena, lola. te encontré por casualidad buscando información sobre el gran Benoit Mandelbrot. no sabía yo de la existencia de un blog tan interesante, lo mismo me engancho y te tengo que leer (después de que pases los exámenes de las oposiciones, claro)
sigue contando cosas, please.
De una matemática curiosa.
Claro, elvi... en cuanto sea libre, trataré de darle un poco de nivel al blog, tengo bastantes ideas que tratar... Ahora ya sólo quedan 8 días para el apocalipsis :P
Hola lola, no se si tienes más información sobre fractales y electroencefalograma, es impresionante como las microtúbulos de las dendritas se pueden asemejar a un fractal que no necesita de energía de afuera sino que genera su propia energía
querida lola: me encanto encontrarme contigo y tus imagenes ya que estoy pintando(pinto)con imagens abstractas en especial repito un trozo de paisaje y lo manejo casi como si fuera un fractal. tecnicamente no tiene nada que ver pero la imaginacion es como un fractal sos divina desde uruguay ra.
Antonio Bru que tiene una teroria de crecimiento tumoral basada en fractales,ha lanzado un nuevo comunicado a la opinion pública.
Universidad Complutense de Madrid. EN RELACIÓN A LAS NOTICIAS APARECIDAS RECIENTEMENTE . Madrid, 20 de Julio de 2007. Ante las noticias que aparecen en los ...
www.mat.ucm.es/~abruespi/
Un fractal es ese gran desconocido del que todos han oído hablar pero que nunca queda muy claro qué es. Sí, es eso que se repite. Sí, es eso que lo divides y sale lo mismo. Sí, es eso de los dibujos raros. Sí, es la pera esa con sombrero y brazos...
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