¡Buenos lunes! Abro una nueva subsección en la parte de "algo de mates". Consiste en que lanzaré de vez en cuando un resultado matemático conocido por todos y que tiene una demostración muy muy corta, un dar de líneas o un dibujo que todo el mundo podría entender. A algunos priori puede que no se les ocurra, para otros será fácil, pero lo que os aseguro es que si lo resolveis (a modo de acertijo), os sentireis muy satisfechos (ejem). Yo pondré la solución al día siguiente. Ahí va el primero:
La suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180 grados
Pista: se hace muy rápido con un simple dibujito. Hale, a pensar!
|2006-05-15 | 11:28 | algo de mates | Este post | | Tweet
jejeje, vamos a irnos a vivir a Moebius city y hale...
nota: el triángulo es plano, de los de siempre, dibujados en un papelito... lo digo por aquello de que en geoemtría esférica siempre suman más de 180 y en la hiperbólica, menos...
Qué axiomática usamos? Podemos suponer el teorema de que los ángulos alternado que forman paralelas cortadas por la misma diagonal son iguales?
Por cierto, todo teorema tiene una demostración de una línea:
Teorema 1.1: si ... entonces ...
Prueba: (120 páginas de prueba...)
Teorema 1.2: si ... entonces ... (lo mismo que antes, cambiando una coma n algún lado, o el nombre de una constante)
Prueba: Por el Teorema 1.1 de la hipótesis se deduce la tesis. QED.
(Sin acritud) Querida y admirada Lola, recuerdo que la primera cosa que me dijeron en 1º de Matemáticas es que un dibujo no sirve para demostrar un teorema. :(
Saverio, sí, se puede usar eso... no se va a usar en ningún momento nada que no pueda entender alguien que no haya estudiado una carrera de ciencias. No busco ningún tipo de formalidad, sólo un poco de ejercicio mental...
balhisay, efectivamente, pero, como he dicho antes, no busco ser formal en la demostración. De todas formas, el dibujo de un caso concreto puede ser explicado en términos matemáticos si utilizar ningún dibujo y que valga para cualquier triángulo. Aun así, los habituales de este blog son visitantes de lo más variopintos y sólo quería, mediante "demostraciones" sencillas, hacer que se sienta de algún modo la satisfacción de resolver un problema así...
pero qué eh lo que hay que hacer? :S... Lola... cuando empieces a dar clases de mates me dejas colarme en alguna?? creo que estoy perdiendo las pocas facultades que tenía...:S
Otra forma, algo más complicada:
Pintar un segundo triángulo, igual al primero. Imaginar que se le "voltea" por el aire (en la tercera dimensión) y una vez girado volverlo a imaginar en el plano, haciendo coincidir su lado más largo, por ejemplo, con el triángulo inicial.
Así obtenemos un pararelogramo, como unión de ambos triángulos.
Se demuestra que la suma de sus ángulos es 360ª (fácil, prolongando un lado y el opuesto y usando la suplementariedad)(2 veces).
Como el paralelogramo estaba formado por nuestros dos triángulos, sólo hay que dividir por dos.
(Seguro que hay más métodos...)
:-)
Querida Lola, como dije mi comentario era sin "acritud", lo que pasa es que me gusta llamarle a las cosas por su nombre y, como bien sabes, la gente tiene una idea muy equivocada de lo que se estudia en la carrera (ya sabes que vemos pocos números que no sean el 0 y el 1, por eso de simbolizar a los elemenos neutros de algunos conjuntos).
Por otra parte me irritan bastante los tipicos juegecitos de ingenio con trampilla. Se que no es esta tu intención, ha quedado bastante clara en tu respuesta anterior. Me parece más adecuado que le pongas comillas a la palabra demostración.
Por cierto, enhorabuena por tu blog, ya lo agregué hace varias semanas a mi Bloglines. Un abrazo,
balhisay, viva la ciencia divulgativa!Además el dibujo no es más q un artificio para ver las cosas más claras: los razonamientos a fin de cuentas se hacen sobre los conceptos abstractos q los dibujos ilustran para, los q como yo, somos torpecillos. Lola, desde q he leido el pequeño desafío esta mañana no he podido evitar hacer varias demostraciones en esquinillas de papel sucio basadas básicamente en el básico teorema del q habla Saverio, y todas con su triangulito feo y emborronado de rigor encima coronando los calculillos...jeje.Besos lola, tu blog está increible, aunque todos t lo dicen constantemente así q ya debes tenerlo bastante asumido.
Una demostración muy bonita, aunque personalmente me quedo con la demostración gráfica del teorema de Desargues :-)
Respect a lo que dice bahlisay, podrías dedicar un post a la falsa demostración de que todos los triángulos son equiláteros para mostrar el riesgo de basar las demostraciones en dibujos... ;-P
Por cierto, y hablando de divulgación, a lo mejor te interesa esto.
belga, tranqui...pero bueno, mañana cuelgo el dibujo (tb vale el que pone creativa, es lo mismo).
Anónimo, pues sí, habrá muchos, pero habría que mirar si se usa algún resultado que ya utilice lo de que suman 180... Hay quienes coleccionan demostraciones de teoremas, y este, aunque no deja de ser un microrresultadillo, no iba a ser menos.
Amalio, ver que la suma de los ángulos de un paralelepípedo suman 360 es casi igual de "difícil" que lo otro, jeje. Pero sí, tb se puede hacer así.
balhisay, no quiero quitar base formal a las matemáticas, nunca lo he pretendido. Hay blogs y páginas muchísimo muy buenas para estudiar cosas de mates (recomiendo la de Tio Petro o Epsilones especialmente). Yo también estudié la carrera de mates y sé qué son matemáticas recreativas y qué no, y lo que se estudia en la carrera no es precisamente jueguecitos. Pero creo que para gente que no suele estar familiarizada con este lenguaje, puede ser bonito llegar a "demostrar" este tipo de cosas. Que no pido que vean que el grupo fundamental de S^1 es Z (cosa que también es muy fácil pero que, claramente, la pregunta entraña mucha más dificultad).
Don José, pues muchas gracias. Si las esquinillas del papel están rellenas, mi objetivo ya está cumplido. Y sí, Thales (o el teorema del sentido común) tiene la clave... :D
Mewt, ya, pero ese dibujo puede explicarse con palabras para cualquier triángulo (rollo "trazamos una paralela por... y por el teorema de..."). De todas formas, lo tendré en cuenta para futuras demostraciones fugaces...
Lo se, lo se, si yo estoy contigo...
Pero la demostracion de Desargues es que verdaderamente me abrio los ojos, un teorema en apariencia tan complicado, y que la demostración sea tan sencilla y tan rotunda... y lo de los triangulos "equilateros" nunca deja de sorprenderme. Fue otra cosa de esas que me hicieron verlo todo de otra manera. Ah, Geometría II, que recuerdos :-D
No estoy de acuerdo: En un paralelepípedo los 360º son la suma de dos ángulos planos, el de abajo y el de arriba. Cosa más fácil que eso... Piénsalo bien,
_______
_______ ¿te das cuenta?
segudno: sí, sí me doy cuenta. Lo que te digo es que es igual de fácil que ver que la suma de los ángulos de un triángulo es 180. Aquí usas que si dos rectas paralelas son cortadas por otra recta, los ángulos internos que se forman son iguales (teorema de thales, que sí, que es una obviedad, pero ahí está). Sólo quería hacer notar que son resultados prácticamente equivalentes.
Otra forma, digamos que papirofléxica (y espero que Amalio, si me la vuelve a calcar, lo haga correctamente :P)
Se dibuja el triángulo, se recorta (aunque las operaciones pueden hacerse mentalmente)y apoyándose sobre la base cuyos dos ángulos adyacentes sean agudos, se pliega el vértice superior sobre la base mediante un pliegue paralelo a la misma (a mitad de la altura).
Se obtiene así un trapecio. Mirando su base ahora, es evidente el resultado, pero para mayor claridad, se puede volver a plegar (esta vez en vertical) los dos triángulos isósceles que han aparecido en los extremos usando sus alturas respectivas. Obtenemos un rectángulo en cuya base se observan los tres ángulos iniciales del triángulo unidos en un mismo punto y sumando un ángulo llano (el lado inferior del rectángulo).
es facil, al triangulo se hace un paralela que pase por el vertice opuesto a la base, se hacen prolongaciones de los lados (rectas), y por angulos complementarios, sabemos y DEMOSTRAMOS, que la medida de los angulos interiores de un triangulo es 180º.
HOLA COMO ESTAN, SON UN FUTURO PROFESOR DE MATE,ME ESTOY CAPACITANDO EN TODO LO QUE PUEDO, PERO ME GUSTARIA Q ME RECOMENDASEN ALGUNOS PROBLEMAS O PAGINMAS PARA RESOLVER, LES ESTARES AGRADECIDO.
¡Buenos lunes! Abro una nueva subsección en la parte de "algo de mates". Consiste en que lanzaré de vez en cuando un resultado matemático conocido por todos y que tiene una demostración muy muy corta, un dar de líneas o un dibujo que todo el mundo podría entender. A algunos priori puede que no se les ocurra, para otros será fácil, pero lo que os aseguro es que si lo resolveis (a modo de acertijo), os sentireis muy satisfechos (ejem). Yo pondré la solución al día siguiente. Ahí va el primero:
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